這些無限大數可以永無止盡地增大，但它們與連續統的距離，就像有限的凡人與無限的距離一樣遙遠。

「不想帶我去你家就直說。」

現在，來到了無限領域，理解了這個超越有限凡人的神之領域的力量以後，阿基里斯遇到了第二個具有這種性質的存在。

利用乘法規則可以得到1/2ω

ω=（｛1，2，……｝丨空集）

阿基里斯也從沙灘上站起，她知道李恆是在看那個最初的紙片人，看那個過去的她。

李恆轉過身，他伸手輕輕敲了敲阿基里斯胸前的那枚粉白色螺旋狀鑰匙，在那裡添上了一顆小星星，笑了笑道：

1/2=（｛0｝丨｛1｝）

同時，因為事件發生的可能性達到了實無窮小，每一個事件包含的信息量就變成了無限大數。

「現在它是一台三星芝諾機了。」

ω^1/2≡（｛1，2……｝丨｛ω，ω/2，ω/3……｝）

「不，這種想法不對。」

第一個滿足這條規則的基數是N0，凌駕于有限的凡人世界之上的神之領域。

連續的數軸再一次被超實數所切割，出現了更多的空隙，每一個空隙都是一條長度為1/ω1的線段。

「從這些無限小數的身上，就能明確知道一台超圖靈機的力量可以實現何種程度的神跡。」

「在康威用全新的規則創造的數學宇宙中，無限大數和無限小數就像是普通的實數一樣，在數軸上有序分佈，可以彼此比較大小，也可以進行四則運算。」

康威的規則是常規集合論公理的擴張。

無論是N1、Nω，還是遠比它們更大的阿列夫數，它們面對著康威創造的這條可以無盡切割、無限延伸的新數軸，就像是有限和無限之間的差距。

這兩個數字的複雜度與ε^2，ω^2相同，都是在第N^2日誕生的。

「想去看一看我誕生的世界么？去見一見那個過去的你。」

「沒錯，無窮無盡。」

看起來就和心想事成、俺尋思之力一樣。

基數κ無法通過常規的運算方式自下而上抵達。

無限是無法通過常規運算方式抵達的，只能用一個不證自明的無窮公理來保證無限集合的存在。

但她的眼中看不到那個被藏起來的小世界，即使借用了這台二星芝諾機那份不可數無限的力量。

每一hetubook.com.com個超窮序數在誕生之時都出現在數軸的最右側。

這些擁有著神之力量的超級計算機的能力不再局限於概率在實數範圍內的事件。

這種涉及到無限領域的概率在原本的實數體系中是難以精確計算的。

僅僅使用常規的冪集公理，無論取多少次冪集，都不可能從離散的點變成連續的線。

「N2，N3，……Nω，Nω^ω……」

［依此作去，窮儘可能，終得積數：其左集為同部運算之所得，其右集為異部運算之所得也］

「每一個超窮序數都有著與之對應的無限小數，這些無限小數是數軸上的一段非零長度。」

這種操控可能性的引擎借用了宇宙真空本身的力量，利用永恆暴脹的無盡能量讓那些小概率事件化為現實。

想要實現那些在正常狀況下難以發生的小概率事件，在有限的物質宇宙中必須要消耗這些事件對應的能量。

它可以看做是從數軸上的零點出發，向著右側走出N1個單位長度后抵達的位置。

阿基里斯聽了毫不遲疑地點頭。

這個數字看起來就像是從數軸上ω所在的位置出發，向著左側零點方向走出了無限個單位長度，卻依舊沒能走到實數域的範圍。

ε^1/2≡（｛ε，2ε……｝丨｛1，1/2……｝）

「那些比凡人世界中的小概率奇迹更稀有的神跡，需要用無窮的力量才能把它們變為現實。」

在冪集公理的範圍內，無論切割數軸多少次，都不可能找到這個不可描述的點。

在第2N日，2ω成為了所有數中最大的數。

這種熟悉的感覺就和有限的凡人面對著無限的神一模一樣。

那裡是凌駕於一切無限的神之上，神上之神所在的世界。

這些線段在之前的超實數世界中看起來是一個沒有大小的點，但實際上卻隱藏著比那裡的整個世界還要廣闊的無盡世界。

如果說無限的世界對有限的凡人而言是不可抵達的神之領域，那麼連續統對於無限的神而言同樣也是不可抵達的神之領域。

李恆輕輕磨了磨牙齒，那裡有一顆無法被他吞噬的，不可描述的點。

ω-1這個數在ω誕生的下一日才被創造出來。

隨著越來越大的超窮序數誕生，這條全新的數軸在變得更長的同時和-圖-書，也在變得越來越複雜，分佈在數軸上的數變得前所未有地稠密。

那個小世界到底隱藏在多麼隱秘的地方？這傢伙把那個紙片人也藏得太好了吧。

李恆從地上起身，看向沙灘旁那片一望無際的藍色海洋，看向那個遙遠的靜止小世界。

「無限小數ε顯然就是無限大數ω的倒數，ε×ω＝1。」

這些線段在實數構成的數軸上是不存在的，它們都會被認為是退化的線段，等同於長度為零，沒有大小的點。

到了無限領域，無限非概率引擎進一步蛻變，成為了更強大的超圖靈機。

在第N1日，比所有可數無限大數都更大的不可數無限大數誕生了。

［以一數之一部與另一數相乘之積，加該數與另一數之一部相乘之積，差以該兩部自身相乘之積。］

「這台二星芝諾機，是在第N1日誕生的？」

在康威的規則中，這些超窮序數則是每一個數的生日。

由概率與信息的關係可知，這些事件包含的信息量都是有限的。

由所有可能的事件構成的樣本空間也變成了更龐大的不可數無限集合。

他們正在潛入這個世界的深處，遠比量子比特海洋更深、更遠的區域，一個根本沒有盡頭的深淵。

「就在這個全新的無限大數誕生的那一天，一個比原來的所有無窮小都還要更小的無限小數也同時誕生了。」

有限的物質宇宙中事件的概率，無論是太陽突然熄滅，還是銀河系突然跳躍到可觀測宇宙之外，這些事件發生的可能性都是0～1之間的有理數。

連續統是一個用冪集公理無法抵達的世界。

「我明白了，我們此刻所在的世界與連續統的距離，應該和之前那些世界一樣遠。」

說到這裏，他話鋒一轉道：

就像力量局限在有限世界的畢達哥拉斯永遠也找不到隱藏在有理數間隙之中的無窮小世界那樣。

它是ω1，這個龐大的數字需要用不可數無限次計算才能得到精確結果。

它雖然比ω小，卻比ω更複雜，包含的信息量更多，需要ω+1次計算才能得到結果。

「微積分中也有高階無窮小，把實數體系中處理的潛無窮小的變數換成超實數體系中實無窮小的數也是一樣的道理。」

0×y=0，這種性質對於ω、2ω等等無限大數也都成hetubook.com.com立，不會出現0×∞不為零的奇怪情況。

用一個新的，類似於無窮公理的公理規則，來保證連續統的存在。

這個終末節點是存在於連續統上的真正奇點。

阿基里斯想明白了。

（｛1，2，……｝丨｛ω-1，ω-2……｝）

但這些事件並不是隨便想想就能憑空實現的，「思考」、「想象」也需要物質基礎支撐，沒有超越物質的心靈。

與它在同一天誕生的還有1/2ω，2ε和1/2ε。

除此之外，無限領域的力量在具體的表現上很樸實無華，幾乎都表現為操控事件發生的概率。

數軸上所能測量的最小尺度從第N日的實無窮小ε，到第N^2日變成了ε^2，一個比實無窮小還要更小無窮倍的長度。

ε=（｛0｝丨｛1，1/2，……｝）

既然採用了這種用兩個集合定義一個數的方式，那麼這條全新的數軸長度自然就不會僅僅限於可數無限集合的範圍內。

「數軸越長，數軸上的數就越密集，數軸上能找到的最小長度就越短。」

存在一個基數κ，滿足性質對任何小於κ的基數λ，都有2^λ＜κ。

康托爾定義的常規集合論規則是沒有盡頭的。

太遙遠了，從離散到連續的世界遠比一次冪集公理的跳躍遠得多，比無窮次冪集公理的跳躍也遠得多。

不可達基數。

「這些無限大數小於ω，因此它們的倒數是比ε更大的實無窮小，在數軸上位於ε的右側。」

「並且它們會搖身一變，成為分佈在這條全新數軸上的一個數，就和普通的數一樣可以進行四則運算。」

阿基里斯沒有空余的心思去看清眼前那些一閃而逝的新世界。

由這些不同的拋硬幣結果構成的集合就是一個樣本空間。

這個來自於真實界的終末節點，它內部的龐大力量僅僅用來毀滅一個自然數集合範圍內的物質宇宙，用大炮打蚊子都不足以形容。

他們並沒有就此停留。

每一個結果出現的概率為1/2^10，包含10比特的信息量。

有了更大的冪集，用康威定義的規則，就能創造出與這些集合對應的新數。

阿基里斯突然搖了搖頭，停止了那無用的數星星行動，抬起頭道：

用冪集公理構造阿列夫數的無盡跳躍過程，就如同有限世界中的www.hetubook.com.com潛無限一樣。

如此分割，無窮無盡。

「在這套規則定義的數學宇宙中，有許多事件的可能性是無窮小，但又比普通的無窮小概率更大。」

通通都可以歸結為無限非概率引擎的能力，源於量子比特無限複製，創造出無窮平行宇宙與時間長河的力量。

說這話的語氣聽起來就像是帶朋友回家去看自己收藏的手辦一樣。

下一瞬，空間破碎，陽光、沙灘、海浪消失無蹤，兩人來到了一個全新的世界。

它們讓那些有限的凡人永遠不可能實現，發生概率為實無窮小的事件也可以成為現實。

［康威語諸數：多產以乘。］

這是乘法的規則。

「但想要抵達我所在的世界，這點力量還遠遠不夠。」

「ω^ω，不動點ε0、ε1等等，此前我們在討論圖靈度層級時提到過的所有集合論中的超窮序數都會被創造出來。」

「不僅如此，康威在第N日以後又繼續創造出了許多個大於所有整數，卻又不及玄極的數。」

無限領域的力量最本質的是公理規則，其中最核心的是每一個無限集合都包含的無窮公理。

一切亂七八糟花里胡哨的能力，什麼矢量操控、空間挪移、時間停止、掌握四大基本力之類的。

第二個就是連續統的基數，凌駕於一切阿列夫數之上的大基數。

實數里沒有無限大數和無限小數，只能把這些有限的凡人永遠不可能實現的神跡統一稱作概率為零。

就像是在畢達哥拉斯統治的那個有理數世界中所做的一樣，隱藏在不可知之處的無窮小世界被放大、爾後顯現出那些更小的世界。

以簡單的拋硬幣為例，拋擲十次硬幣，共有2^10種不同的可能性。

還有五十億年壽命的太陽有概率在下一瞬就熄滅？那就熄滅它。

同時，就像N日誕生的實數宇宙和超實數一樣，數軸上分佈的數在這一日再次驟然擴張，數量從N1跳躍到了N2。

它們在已有數字的邊緣從虛無的空集中誕生，是當日創造的最大的數。

回憶起在畢達哥拉斯的世界中尋找無窮小的過程，她終於明白了離散和連續之間那不可觸及的距離究竟有多遙遠。

李恆伸手敲了敲黑色的大石頭，就像是面對著一塊黑板一樣，用白色的粉筆在上面寫下了兩個數。

它的內部包含了常規集合https://www.hetubook.com.com論中沒有的公理，這類公理是無窮公理的延伸。

康托爾的樸素集合論中定義的超窮序數對應的是圖靈度層級，也就是一個數的演算法複雜度。

有限的數，無論定義何種運算方式，弄出一堆高德納箭頭，創造一堆宇宙都裝不下的大數，它們和無限的距離也不會比0更接近。

「不管是切割一次，還是切割無限次、不可數無限次，都不可能找到數軸上不可再分的最小元素，從有長度的線段抵達沒有長度的點。」

直徑十萬光年的銀河系有可能突然跳到萬億光年外的不可觀測宇宙？那就實現它。

她只是低著自己的腦袋，睜大了眼眸，努力地細數著這台芝諾機上數量瘋狂增長著的小星星。

因此，有限宇宙中所有可能的事件構成的樣本空間就是一個可數無限集合。

想要做到點動成線，必須使用普通的集合論中沒有的公理規則。

「比如ω-1，ω-2等等。」

ε=（｛0｝丨｛1，1/2，1/3……｝）

因此，只有第N+1日，而不會有N-1日。

她舉起那台已然進化到可怕程度的芝諾機，看向一旁嘴角帶著些許微笑的李恆，有些不忿地道：

「創造這些神跡需要付出的信息量就是與之對應的超窮序數，也就是這些小於一切實數的無限小數的誕生日。」

「這些神跡發生的概率是可以精確計算的，1/ω、1/ω^ω，亦或者更小。」

與這些數字一同誕生的是一些更複雜的數字，比如

那些星星數量增長的速度遠遠超過她孱弱的大腦所能想象的範圍，不過轉念之間便已然遠遠超過了之前在康托爾那裡提及的阿列夫無限。

計算概率需要用到樣本空間的概念，它是由所有可能的結果構成的集合。

數軸的長度因此可以被擴張到比λ更長的2^λ，同時創造更小的無限小數，把數軸分割成更微小的線段。

阿基里斯想了想問道：

「切割了這麼久，其實根本就沒有半點作用。」

在冪集公理的規則範圍內，無論是多大的集合λ，總能創造出比它更大的冪集2^λ。

ω=（｛1，2，3……｝丨空集）

時間流逝，到了到第N^2日、N^N日，超窮序數ω^2，ω^ω等等也都會在這套規則下誕生。

「發生概率同為實無窮小的事件，彼此也包含著不同的信息量。」