在普通的整數世界中，那是一個熊熊燃燒的大火球，是給予人類營養的太陽。
「這兩種情況都沒有發現數軸的縫隙，因此這些分割就對應所有的有理數。」
於是，通過定義集合A和B的成員和邊界，就可以準確定義這點的值，數軸上真正不可再分的基本元素。
這位貝克萊主教從手中捧著的那堆宣傳單里抽出兩張分別塞到兩個人的手中，接著抬頭看向天空中散發著無盡光和熱的太陽。
以有限生靈的視角，完全無法區分兩者的區別在哪裡。
只不過在生命本質上，兩者依舊沒什麼差別。
「由此就從有理數擴展到了實數。」
「這是連續性最直觀的一點，但從這種稠密性的視角去理解數軸的連續性已經宣告破產。」
「它們本就來自於表示無理數的基本序列，源於微積分中的極限，沒有最後一位的概念。」
「畢竟微積分的基礎就是連續性，而無理數就是數軸連續性的來源，沒有實無窮，只剩下有理數的微積分也不可能存在。」
用數軸上位於左側和右側的兩個互斥集合來定義一個點的數值，這就是戴德金分割的思想。
魏爾斯特拉斯，戴德金，還有康托爾，這三人各自完成了對實數的基本定義。
「也正是因此，類似於ω這樣不是0也不是後繼序數的超窮序數被稱為極限序數。」
「如果承認一個既是0又不是0的奇怪的無窮小量，那麼微積分的邏輯基礎的確只是空中樓閣，與神學信仰無異。」
一個量減去它自身的一半或一半多，剩餘的量再減去剩餘的量的一半或一半多。
「有了無縫的實數軸和實數的基本定義，接下來就可以開始研究連續統了。」
「一個有理數的無窮序列，如果任意兩個相鄰項的差越趨於0，那麼這個有理數序列就是一個實數。」
「再次回到之前解釋過的0.9……=1的問題，用戴德金分割就能證明這一結論。」
這個隱藏在無窮小空間里的無理數世界已和*圖*書經與超脫物質宇宙的信息世界很類似了。
前三張便簽紙上分別寫著「一一對應、基數」，「有序排列、序數」、「排中律」的字樣。
「除此之外的第三種情況，左集A沒有最大元素，右集B也沒有最小元素。」
這種極限思想與最初歐多克索斯使用的窮竭法很相似。
李恆抬手和這個表情嚴肅的中年男人揮手告別，望著那漸漸遠去的背影，隨手就把手中的傳單捏成一團扔進了一旁的垃圾桶里。
「與戴德金分割對實數的定義等價，康托爾用無窮序列來定義數軸上的數。」
在這之後，柯西將極限的思想發揚光大。
兩者的思維能力是等同的，掌控萬物命運的普通人依舊還是普通人，算個加減乘除都要思考上好幾秒，隨便記幾個電話號碼都會讓腦袋宕機。
「不過，柯西對於極限的定義依舊有不太完美的地方，尤其是趨近這個具有動態含義的詞，暗示了時間和空間的概念。」
她也有免費請她吃飯的主了，不用信那個見都沒見過的上帝。
那麼就存在唯一的一個點把所有的點劃分成兩類，從而把直線分割成兩部分。
「從數軸的可分性去理解連續性，這就是我們兩個一路上在做的事情。」
這就是戴德金分割。
想要成為神，必須擁有凡人永遠不可企及的智慧，有能力解決凡人永遠無法解決的難題，這才算得上是神。
「利用這個對極限的定義，可以很容易地證明芝諾二分悖論中那個無窮級數的和是1。」
「思考數軸連續性最好的方法是從數軸的有序性和相繼性入手。」
當一個圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積的極限就是這個圓的面積。
大略地提了提微積分的發展史，李恆將話題轉到了重點上。
萬物皆數，在直觀的幾何上從離散到連續的轉變，就是從有理數到實數的轉變。
李恆面前再一次漂浮起那條用白色粉筆畫成的數軸，只不過這一和_圖_書
次上面的數字變成了各種奇奇怪怪的符號。
「這種定義下的系統是封閉的，也就是說，用有理數定義的實數去組成實數序列，得到的極限仍是實數。」
歸根結底，這些看起來無窮小的有理數縫隙，依舊還不是一個沒有大小的點。
「微積分的完善建立在極限思想的基礎上，明確了微積分在計算過程中使用的都是不為0的變數。」
為了解決微積分的基礎問題，有許多數學家做出了努力，比如達朗貝爾提出了建立在「極限」概念基礎之上的微積分。
「因此我們這裡能用來作為分割標準的只有定義清晰的有理數。」
一直這樣減下去，最終就得到一個小於任何事先給定量的量。
智慧生物以自身勝過蠢笨動物的智慧而驕傲，毀滅與創生的偉力並不能讓凡人信服，畢竟「我上我也行」。
眼中能看到的世界只有那塊小小的電子屏幕，而不是整個廣闊無邊的真實世界。
「一刀將數軸分割成兩個部分，將會得到幾個不同的結果。」
李恆抬手打了個響指，兩人來到了一間幽暗老舊的精神病院外面。
「在他之後，魏爾斯特拉斯重新給出極限的定義，也就是教科書上的ε—δ語言，不再使用趨近這種暗示了空間和時間的動態定義。」
在這個無理數世界里，天上光芒萬丈的太陽其實是那兩個佔據了微積分源頭的強者所投下的一絲倒影。
「數軸上的每一個點都是唯一的，一個點在左集A中，就不可能在右集B中。」
「最關鍵的就是，需要一個無理數的基本定義，這些無理數構成的數軸具備連續性。」
「所有的無限小數已經填滿了整條實數軸，再也沒有其他數字的位置。」
這份力量來自於超出自身認知範圍的許可權，他本身與被他掌控宿命的世間眾生位於同一個位置，並沒有什麼高不可攀的地方。
在處理導數時，他把dy/dx看成是有限項的商的極限，並且將這個商表示為z/u。hｔｔｐs://ｍ•hｅtｕｂook•com.ｃｏm
「微積分基礎的嚴格化解決了很多問題，但也帶來了很多新的問題。」
「實數域因此也是最大的阿基米德有序域，給出任何數，總能夠挑選出一個整數大於該數，也就是不包括無窮大量和無窮小量。」
「點動成線，數軸上的無窮個點密密麻麻地填滿了所有的空隙，沒有絲毫的漏洞。」
「嗯，前置基礎總算是說的差不多了。」
李恆抬起手掌，一記樸實無華的手刀砍在面前的白色數軸上，激蕩起一陣金屬碰撞般的火花，讓整個世界都劇烈地顫動了起來。
當屬於一個變數的相繼的值無限地趨近某個固定值時，如果最終同固定值之差可以任意地小，那麼這個固定值就稱為所有這些值的極限。
但這樣掌握著上帝許可權的人依舊還只是凡人罷了。
無窮小量是以0為極限的變數，摒棄不可捉摸的實無窮，將無窮小量限定在非0的潛無窮範圍內。
單純從生靈的力量層次來看，這個無理數世界里的一草一木都比掌控一座次元世界的所謂大人物要強得多。
他們感覺到，這個隱藏在有理數的縫隙中，無限可分的無窮小世界，真的被找到了那個不可分割的最小基本元素。
「所以第二種情況，左集A沒有最大元素，右集B有最小元素。」
「0.9……是一個十進位無窮小數，它和1是數軸上同一個點代表的數的不同寫法。」
無法被認知和掌控的力量就算不上自己的力量。
「這就說明這一刀砍在了數軸上的某一個有理數p/q所代表的點上，並且這個點位於左集A之中。」
「如此數軸就被分成了兩部分，比如（-∞，2】，（2，+∞）。」
阿基里斯見狀也不猶豫，學著他的樣子把那張傳單扔到了垃圾桶里。
「願主保佑你渡過美好的一天。」
在之前的旅程里，一旦離開了處處均勻的整數世界，兩人就淪陷在了有理數和無理數的稠密性中。
「對了，還有很有名的魏和-圖-書爾斯特拉斯函數，處處連續但處處不可導。」
「這就是有理數之間的縫隙，想要填補這個縫隙就需要無理數，也就是我們現在所在的這個世界。」
他不信宗教，無論是傳統的上帝、三清、佛陀，還是最近比較流行的克蘇魯邪神。
再次回顧計算圓周率時使用的內接正多邊形。
「這是第一個分形函數，具備自相似性，無限細分放大后依舊還是那布滿了鋸齒的模樣。」
說到這裏，李恆又抬手在阿基里斯的肩膀上貼上了第四個小便簽「戴德金分割」。
「在這個數左邊的所有數都小於這個數，在這個數右邊的所有數都大於這個數。」
「實數的定義域（-∞，+∞），這個表示無窮的符號也就再次回歸到了亞里士多德的潛無窮的概念，人類的智慧似乎再一次在無窮面前敗退了。」
如果直線上的所有點都落入兩個集合，第一個集合中的所有點都位於第二個集合的所有點的左邊。
「用有理數進行分割，如果分割不產生空隙，那麼它就是一個有理數；如果產生空隙，那麼它就是一個無理數。」
無窮小量不會真正抵達0，微積分處理的都是位於0和∞之間的有限量。
這是柯西有關於極限的定義。
「雖然是出於維護宗教信仰的目的而抨擊微積分的基礎問題，但這位主教的話是說得沒錯的，否則也不至於引起第二次數學危機。」
其中容易理解的是戴德金的定義。
「連續性顯然不是根源於任何種類的緻密性，用這種想法去思考數軸連續性的根源是一無所獲的。」
「任意兩個有理數之間都存在第三個有理數，但它們並不連續，每一個有理數還被密密麻麻的無理數所包圍。」
一個普通人手中的遊戲世界對應著一個無邊無際的真實世界，他的日常玩樂就是這個世界里眾生的天道宿命。
「但，潛無窮和實無窮的概念本就是相互交織的。」
但是，對於任意給定的容差，總是能夠找到一個內接正多邊形，它的面積和圖書比給定的容差更接近圓的面積。
「同樣祝你好運，主教。」
當使用「任意小」、「任意大」這類詞進行表述時，就代表著不可抵達的潛無窮的觀點。
「這讓整個微積分的計算擺脫了麻煩的無窮大和無窮小，回歸到了人類能處理的有限範圍內。」
雖然它看起來在數軸上佔據的長度是零，但這裏卻藏著無數個無理數，構成了這片有牛頓、萊布尼茨、貝克萊主教的複雜世界。
那麼，dy/dx就是在假定z和u為實數並且不斷減小時，比值越來越接近的量。
「也就是在數軸上，每一個點的左邊是一個更小的點，右邊是一個更大的點。」
「因為無理數的定義還不清晰，我們只知道無理數的某些實例，而不知道所有無理數的狀況。」
「第一，左邊的A集合有最大元素，右邊的B集合沒有最小元素。」
「1.00……和0.99……，這兩個不同的基本序列極限是一樣的，定義了數軸上的同一個實數。」
「切割整數，切割有理數，切到不可再分的那一點，找到能精確地將數軸分割成左右兩部分的那個點所代表的數。」
他們不得不面對那些包含著無窮個元素、但卻看起來同樣都是無窮小的區間。
「康托爾將這稱為一個基本序列。」
他就是自己的主，自己保佑自己就行了。
天上那閃耀著無盡光無盡熱的大火球也在這一刻微微暗淡了下去，爭吵了不知多久的兩個數學家將目光投向了此處。
在這個變化過程中，不會有哪個多邊形的面積真的等於圓的面積。
「完善了理論基礎的微積分擺脫了麻煩的實無窮，但總有人對真實的無窮的性質感到好奇。」
「任何有理數序列的收斂等同於它可表示為一個無窮的十進位小數。」
僅僅是這一絲倒影的力量就已經遠遠凌駕于真實界佛祖的屍體之上。
「總之，經過不少聰明人的努力，微積分總算有了一個嚴格的基礎，擺脫了邏輯上的含糊和矛盾，走出了第二次數學危機。」