根號2是代數數，因為它是整係數二次方程x^2-2=0的一個解。
「如根號2、根號3等實代數數同樣可以像有理數一樣進行可數化，因此雖然它們比有理數多得多，但數量還是與自然數一樣多。」
「這就是第一個超窮基數N0」
「噢……這麼厲害啊。」
李恆從那棵變得光禿禿的棗樹上摘下最後幾個紅棗，塞到了身旁白髮女孩的手掌心裏。
它們都是一樣的無限大，維度差異根本無關緊要。
比起這種外貌上的怪異形象，他更喜歡克系小說中對尤格索托斯的描繪。
「問題在於，無窮的這種性質是否真的有矛盾之處？」
既然存在明顯的矛盾之處，那麼實無窮顯然是不存在的。
首先假設實數集是可數的，可以用類似於上面使用過的可數化方法，將所有的實數都列舉出來。
②X2.b1b2b3……
用理性和邏輯去探尋的事物，最終卻發現以凡人有限的理性永遠無法理解它們。
如此便有了三個基本的層次：
想要證明這張數表無法列舉出所有實數，就要構造出一個反例，表明它不可能出現在這張表裡。
「這是個脾氣很好的老頭，跟掛在天上的那個大太陽不太一樣。」
劉維爾不等式是一個有關於無理代數數和有理數的不等式。
由此得出與假設不同的矛盾，從而證明實數是不能可數化的。
利用一一對應的方法，即使沒有辦法確切的數完集合中的每一個元素，也能比較不同集合元素的數量。
「這個問題有些超綱了，我們當前探究的只是實數軸和連續統，關於線=面=體的反直覺問題暫且略過。」
「每一個無理數都是一個已完成的無窮序列，如果沒有實無窮，那就沒有無理數，微積分的理論基礎也就完全消失了。」
說到底，這些令人恐懼的要素都是以地球人的視角而產生的。
實數集與自然數集無法一一對應，它是一個比可數無窮更大的無窮。
以此類推，實數R小數點后的第n位與列表中第n個實數的第n位不同。
只要能建立一個一一對應的操作程序，使得對第1個，n個，和（n+1）個成立，就可以通過數學歸納法證明，這種對應對兩個集合從頭到尾都成立。
令人恐懼的不是怪異醜陋的外表，而是超越人類智慧邊界的知識。
李恆抬手指向棗hｅｔubｏoｋ•ｃｏm.coｍ樹的根部。
這就是這個證明被稱為對角線法的原因，新的實數R所取的小數來自列表中全體實數的一條對角線上。
「理所當然的，離散和連續之間的差異，就會讓人聯想到無窮之間也有差異。」
她現在終於有些理解李恆所謂的吃東西是什麼意思了。
在這之後他做了一些更深入的證明，即線段=直線，直線=平面。
李恆伸手從棗樹上取下一顆大紅棗，塞到了阿基里斯的嘴邊。
然後在這張二維矩陣上畫了一條Z字形的線，將矩陣上列出的所有有理數排列成一行。
「不，他一直在邊上看著咱們。」
宇宙中其他星球上的碳基智慧生命、硅基智慧生命。
還好康托爾不在這裏，不然大概要跟他們這兩個不告而取的傢伙打上一架。
「實數卻是連續的，那麼兩者之間的本質差別是否就是因為實數比其他數的數量更多？」
「有了一一對應的方法，那麼很容易就能得到以下結論：奇數、偶數、素數、整數，這些數構成的集合都能與全體自然數形成一一對應。」
一口將這顆大紅棗吞下，阿基里斯品味著那甜滋滋的味道，感受到有絲絲縷縷的信息從棗子里涌了出來。
「於是，具有和全體自然數集合相同基數的無窮大就被稱為【可數無窮】。」
所有人類——這個詞指的是廣義上的人類。
大門緩緩向著兩側打開，露出了門后隱藏的場景：
「自然數、整數、有理數，它們的數量都是無限，但它們都是離散的，充滿了漏洞和空隙。」
那些紅棗小部分到了她的肚子里，大部分都被李恆吞下了肚。
「自然數，整數，有理數，無理數，實數。」
「啊嗚。」
李恆仰頭看向天空中熊熊燃燒的太陽，就算是牛頓和萊布尼茨的光芒，也在這間精神病院門前止步不前。
以己度人，要是他自己種的紅棗被陌生人跑進來吃了個精光，那她肯定要氣的半死。
1→1，2→4，3→9，4→16，……n→n^2……
不論是銀河系裡的地球人，還是在這個無窮小的無理數世界里的牛頓與萊布尼茨兩大天尊。
「最後幾個了，這可是康托爾親手種下的好東西，比人蔘果還厲害的寶貝，聞一聞味道就能獲得一念生滅多元宇宙的力量。」
「與此相反，反倒是孱弱的hetubook.com.com老人、天真可愛的小孩、被人欺凌的柔弱女子，這些常識中的弱者反而會具有抵制鬼怪的奇特能力。」
1，2，1/2，1/3，2/2，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，2/4，3/3，4/2，5，6……
「所以，真正讓實數軸具有連續性的不是無理代數數，而是那些更奇怪的超越數。」
雖然同樣都是可數無窮，但無理代數數和自然數集合、有理數集合當然有很大區別。
安靜詭異的氛圍，讓這裏就像是某個恐怖電影的拍攝現場。
在直觀上看來，全體完全平方數顯然是自然數的一個真子集。
阿基里斯仔細看了兩眼，抬手就把這幾顆珍貴的紅棗塞進了嘴中，隨意地嚼了兩下就吞了下去。
李恆的臉頰鼓起來一小塊，這讓他看起來有些像是在吃花生的倉鼠。
「它們的數量都是一樣的，有著同樣的基數。」
一個臉上布滿皺紋，頭髮散亂的白髮老頭子，眼中有著獃滯和茫然，仰著頭躺在那裡不知道在想些什麼。
李恆再次伸手從棗樹上摘下一顆棗子，這一次他直接塞到自己的嘴裏吃了下去。
所有人類眼中都同樣不可理解、不可言及的神秘未知之物。
「康托爾不認為這種性質是有矛盾的，雖然它違反了人類一直以來的直覺，但卻並不違背邏輯。」
有理數看起來處處稠密，在直覺上根本無法像是自然數和整數一樣一一列舉出來。
通俗來說，這個不等式表明有理數作為無理代數數的鄰居，其數量少得可憐。
很普通的場景，與在外面感受到的陰森恐怖氛圍完全相反，只是一座很普通的建築。
不僅是狹義上的地球智人，還包括遠古的尼安德特人、能人，以及千百萬年以後不知是否存在的未來人類。
第二行是所有p/2形式的有理數，第三行是所有p/3形式的有理數，以此類推。
「如果說過去人類還可以用潛無窮的思想把∞拋在一邊，但隨著微積分和實數理論的建立，一個描述實無限的理論已經迫在眉睫。」
將這個有理數序列中所有重複的非最簡形式分數去掉，得到一個有理數序列：
雖然參加舞會的人數可能有一百億甚至是無窮多，但只要知道每個人都已經有了自己對應的舞伴，沒有孤零零留在一邊的落單者，那就說明參加舞和_圖_書會的男女數量是一樣多的。
用基數衡量力量層次是一種很粗糙的方法，在無限領域，即使是相同的基數，具備的力量也是天差地別。
第一行是所有p/1形式的有理數，也就是所有的整數。
阿基里斯咀嚼著口中的紅棗，她汲取著其中的信息，接著有些驚訝地問道：
開闊的庭院，院子里種著一棵掛滿了大紅棗子的棗樹，一個清澈的游泳池裡放著一個漏氣的黃色游泳圈，看起來有些像是之前阿基米德的澡盆。
但無理數的存在表明有理數並不連續，依舊是離散的。
「說回實數集的基數，康托爾用來證明實數集不可數的方法是反證法。」
「就算加入了比有理數多得多的無理數，額，這裏把它們叫做無理代數數，依舊還是可數無窮？」
「沒錯，無理數之間也是不一樣的。」
阿基里斯聞言看向棗樹，她握住胸前的螺旋狀鑰匙，用那個看不到具體尖端的小點對準了那裡，終於看到了躺在棗樹底下的第三人。
通過一一列舉的方法，列舉出一個有著無窮個無限小數的數表。
兩個外貌看起來跟強大無關的人就像是誤入危險場所的貪玩小孩，屬於在恐怖片開頭就被獻祭的那種。
「因此，康托爾將部分與整體一樣大、集合的真子集與自身一樣大作為無窮集合的基本性質。」
「我們探究的當然不是人生晚期住進精神病院里的康托爾，而是他發現超窮數的思想。」
這一點就像是在舞會上一一配對跳舞的男性和女性，每個人都已經找到了自己的舞伴。
「其他無窮集合的基數可以通過這個基準的基數來計算，也就是把它們與N0比較，看看它們是否能和自然數建立一一對應。」
康特爾首先將這些有理數排列成一個二維矩陣的形式。
對無窮集合，絕不可能真正完成配對的過程。
根本沒有一個已經完成的「全體自然數」集合，只有無限延伸、永遠數不到盡頭的自然數。
「所謂的矛盾，只不過是人類將處理有限數的方法推廣到了無限之上，這就像用牛頓的運動定律去處理接近光速的高速物體一樣。」
長滿觸手的頭足類生物，全身血肉模糊、滿是眼睛和嘴巴的可怕生物，有著超凡靈異力量、能隱形穿牆瞬移的鬼怪幽靈。
所有的有理數完成了可數化，能夠與自然數集合完成一一對應。
和圖書嘎嘣嘎嘣的清脆聲響在這間無人的庭院中響起，阿基里斯抬頭看去，那棵大紅棗樹上面的紅棗已經只剩下寥寥幾個，看起來有種荒涼感。
有了作為基準的可數無窮，接下來的難題就是對於有理數的處理。
這涉及到更複雜的超窮序數和超圖靈機的力量層次，從可數無窮到不可數無窮之間還有著極度複雜的結構。
一間老舊的精神病院，隱藏在陰暗無光的山林之間，即使是天上熊熊燃燒的大火球綻放的無盡光和熱都無法照亮這片陰暗的區域。
令一個實數R的小數部分為（a1-1），（b2-1），（c3-1）……當0-1時令其為9。
但通過在自然數和完全平方數之間建立一一對應，伽利略發現自然數和完全平方數的數量是一樣多的。
「不過，換一個思路，在恐怖片里全身長滿肌肉的強壯成年一般都是用來展示鬼怪不可抵抗的強大力量的墊子。」
康托爾將連續統的基數稱為c。
①X1.a1a2a3……
1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，……
「在他看來，對於數學來說，只要一個理論是一致且相容的，沒有自相矛盾之處，那它就是可以被接受的，除此之外沒有其他多餘的標準。」
李恆帶著阿基里斯走進了這間空無一人的精神病院，目光投向那棵長滿了紅色棗子的棗樹。
這意味著能夠用一個坐標來唯一確定一個n維連續空間的點，而不需要隨著維度增加而添加更多的空間坐標。
紅棗裏面裝著的信息是伽利略對於無窮的理解，使用的方法正是人類對數的認知的源頭，最基本的一一對應思想。
「雖然數學家、哲學家往往會被人和孤僻天才、精神異常的瘋子人設聯繫在一起。但康托爾建立集合論和超窮數理論的大部分工作都是在他精神正常的時候完成的。」
這種方法被稱為對角線證明。
最終，這個新的實數與列表中的每一個實數都不同，一張無限長的列表也無法寫出全部的實數。
一個實數如果是某個具有整係數的多項式方程的解，就把它稱為代數數。
「他對我們討論的東西並不感興趣，也不在意我們吃掉他種的紅棗，只喜歡一個人待著思考自己的問題。」
味道確實比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。
「想要證明這一點，需要用和-圖-書
一種方法將有理數排列成類似自然數的形式，這種方法被稱為集合的可數化。」
實數軸【0，1】區域點的數量與整條實數軸一樣多，線、面、體都是等價的點集，基數都是連續統的基數c。
用有限世界的情況進行不太準確的類比，一個一千克的血肉大腦和一團一千克的棉花是不一樣的，一百億人組成的智慧文明和一塊十億噸重的石頭也是不一樣的。
李恆從口袋裡掏出那條白色的數軸，用手指敲了敲上面那些意義不明的奇怪符號。
還有那些生存在空間不均勻的非整數世界中的修仙文明、魔法文明、武道文明之類亂七八糟的文明。
「從蘇美爾文明的楔形文字開始，一直到幾千年後完整的實數定義，無縫連續的直線終於在代數上有了與之對應之物。」
既然如此，那麼有理數或許也能用某種方式像是自然數一樣一一列出，基數同樣是可數無窮。
有理數就是一次整係數方程的解，代數數代表著有理數的擴充。
③X3.c1c2c3……
「整數和自然數的基本特徵就是可以一個接著一個地列出來，知道了前一個數就能寫出后一個數，康托爾將這種性質稱為【可數性】。」
無垠的宇宙中將這些恐懼要素視為美麗、高貴、可愛形象的智慧文明到處都是，莎布尼古拉斯的形象在很多文明中都是「高貴迷人的女王」。
這個實數R小數點后的第1位與列表中的第一個實數的第一位不同，小數點后的第2位與列表中的第二個實數的第二位不同。
「也就是說，存在一個比人類常識中的無窮更大的無窮。」
「知識就是食物，原來是這樣的感覺。」
「雖然是個精神病老頭，但沒有什麼攻擊性，不像上個世界的畢達哥拉斯那樣危險。」
這種矛盾之處完全違背了歐幾里得的公理「整體總是大於部分」，也是有限的人類認為他們無法處理無限的重要理由之一。
「每一個有理數可以表示為p/q的形式，簡單起見，只選擇正有理數，對於無窮集合這種處理不會影響結果。」
伽利略用一一對應的方法操作的是自然數和完全平方數：
因此，看似無窮稠密的有理數的數量與自然數相等，依舊是N0。
有限，可數無限，不可數無限。
她在這顆紅棗里看到了一個名為劉維爾的數學家做的有關於代數數和超越數的證明。