「戴德金分割用有理數分割定義實數，並沒有給定一些得以構造出集合A和B的數學規則。」
「從一個集合包含的元素來構造其全體子集的過程，實際上就是一連串的判定過程。」
李恆抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：
她在上面看到了無窮無盡的太陽，每一個太陽里都有牛頓和萊布尼茨。
「康托爾的故事到此為止，但有關於連續統的問題還遠遠沒有結束。」
因為是天才，所以對自己的要求自然也是和普通人不一樣的。
創造了集合論和超窮數理論，取得了開天闢地般的成就，卻依舊把自己無法解決的問題看做是人生中最大的失敗。
「在無窮大的世界里，人類直觀的幾何概念顯然是毫無作用的。」
「另一種則叫做非構造性證明，或者稱作存在性證明，它所使用的規則就是排中律。」
在不可數無窮上遇到的困難似乎就是源於排中律。
「比起義務教育漏網之魚也能理解的一一對應和對角線證明，超窮序數的研究就太過專業和複雜了。」
「在高維空間中是有限大小的物體，在低維空間中卻是無限大的，這似乎就是在說明，高維空間是更大的無窮大。」
冪集公理的規則下，僅僅只是一次跳躍，就能超過那些花里胡哨的所謂無盡次元世界、量子比特海洋，抵達更高層次的無窮大。
這種方式聽起來就太簡單了。
李恆對著地上的躺平老頭道。
如果說的是真話，這句話就是謊話。
最後再加上空集空集，總共有2^3個子集。
但從可數無限到不可數無限之間卻存在著明確的法則，只需要用冪集運算就能跳過這一個層次。
時空變換，精神病院消失不見，取而代之的是一條清澈的小河，河邊的草地上佇立著一塊墓碑。
類似的，可以證明對包含n個元素的集合，其子集的數量是2^n個。
「從古希臘時代以來一直存在於混沌之中，被人類認為是模糊且不可理解的實無窮因此有了具體的模樣。」
「利用排中律和反證法，即使並不知道具體的對象到底是什麼，也能證明它存在。」
在無限領域，因為超窮基數相對於超窮序數更簡單的特性，讓那一大堆複雜的力量層次看起來沒什麼用。
「可惜，就像之前說過的那樣，康托爾反而證明了維度的數量對於連續空間中的點集大小毫無影響。」
聰明的天才也未必就過得比蠢笨的小呆瓜幸福，至少她那對沒心沒肺的父母就過得比這個住進精ｍ•hｅｔubｏｏｋ.com.ｃoｍ神病院的可憐老頭好多了。
雖然都叫做佔盡未來，兩者的難度卻是全然不同的。
這一點對於空集也是成立的。
「為什麼是2，而不是3或者10？」
無論是哪一間精神病院，那裡都有兩個闖入此間，外貌形同雙胞胎的小孩。
「額，他種的紅棗都被我們兩個給吃光了。」
李恆從地上直起身來，那棵光禿禿的棗樹也在這時又一次長滿了紅棗。
「現在，自然數的冪集和所有實數的基數都大於N0，一個很自然的想法就是，自然數的冪集基數是否和全體實數一樣。」
「離散和連續，可數無窮和不可數無窮，康托爾的研究在無窮領域中點亮了一絲曙光。」
「下一個想要解答這個問題的人是希爾伯特，連續統問題就是著名的希爾伯特第一問。」
「康托爾想要證明的是，不可數無窮集合Z的基數等於N1，這樣就可以證明在N0和C之間不存在中間的集合。」
「更深入的說，是排中律隱藏著的人類最基礎的邏輯問題。」
畢達哥拉斯在追尋無窮之路上變成了一隻怪物，康托爾成了精神病院里的躺平老頭。
一直保持著眼神獃滯狀態的白髮老頭這時終於有了些許反應，他動了動眼珠子，目光聚焦在那顆光禿禿的棗樹上。
阿基里斯在心中低聲反駁。
「不僅如此，康托爾證明實數集C、自然數集的冪集N1等等集合是不可數無窮時使用的也是反證法，依賴於排中律。」
「在這之後，還可以利用構造冪集的方式繼續創造更大的集合，比如類似於超窮序數中ε不動點的阿列夫不動點，滿足α=Nα。」
那些是在不同世界中的阿基里斯，以及在她們身邊的同一個李恆。
李恆輕輕彈了彈食指，將手中寫滿了白色粉筆字的綠葉扔了出去，這片綠葉在下一刻就覆蓋了整間精神病。
能明白連續統問題是很困難的難題，這就是很大的進步了，比她那兩個隨意使用「芝諾的龜」的蠢蛋父母聰明。
「康托爾用有理數序列表示實數的方法與戴德金分割得到的連續實數軸是等價的。」
「既然被稱作是假設，當然就沒有被證明了。」
每個人對自己的期待都是不一樣的，聰明人也依舊是人，有著無法解決的問題。
如果這個世界的量子比特無限複製的方式遵循冪集運算的規則，那麼情況就變得很可怕了。
從有限到無限是一次佔盡未來，從可數無限到不可數無和圖書限是第二次佔盡未來。
「遠比超窮基數更複雜的超窮序數捲入了其中，將這個問題變得困難起來。」
「說謊者悖論、上帝全能悖論、理髮師悖論等等。」
「用二進位無限小數的形式來表示，一個無限長的數字序列，每一個位置上都有0和1兩種可能。」
「通過判定集合中的每一個元素是否屬於這個集合，可以構造出一個新的集合。」
「這個問題被稱為連續統假設。」
這是希爾伯特的名言，以此作為對那些信奉不可知論之人的反擊。
就是有一點偏科，腦袋裡沒多少實用的生活常識。
可數無限雖然是最小的無限，但對於有限的凡人具有不可達的性質，只有用無窮公理保證它的真實性。
「真正讓康托爾感到困擾的，正是在研究更複雜的超窮序數理論時遇到的難題。」
希爾伯特更慘，只剩下了一塊墓碑和一張黑白照片，墓穴里空空蕩蕩什麼都沒有。
空集，｛空集｝，｛空集，｛空集｝｝……這組序列就代表了自然數0，1，2……
「天才也有天才的苦惱啊。」
最大的失敗啊……
「將可數無窮集所有可能序型的集合稱為Z，能夠得到以下幾個結果。」
不過這也沒關係，反正有大善人請她免費吃飯，這日子過得比貧民窟里可舒坦多了。
「3個元素，每一個元素都有是、否兩種可能，總共就是8種可能性。」
如果真是這樣，李恆最初所在的世界就不是對應著整數世界的最小不動點ε0，而是直接跳到阿列夫不動點去了。
空集中的元素為0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集數量為1，也就是非空集合｛空集｝。
樹葉上也顯照出無數個精神病院，裏面有的棗樹是光禿禿的，有的則依舊掛滿了鮮紅的紅棗，不變的是那個白髮蒼蒼眼神獃滯的躺平老頭。
「其中最關鍵的一點就是，康托爾發現了無窮也是有不同的等級的。」
「除了來自外部的攻擊，他後半生痛苦的最大來源就是無法證明的連續統假設。」
阿基里斯學著李恆的模樣蹲在棗樹旁，低頭盯著那個眼神獃滯的躺平老頭。
「更多的維度需要更多的坐標進行確定，二維空間中的點應該多於一維直線上的點，因而空間上的點組成的集合應是比不可數集更大的等級。」
或者給所提問題以實際的肯定答案；或者證明問題是不可能的，因此所有企圖證明它成立的努力必然失敗。
知識就是食物，這不是虛指ｗｗw•ｈｅｔｕbｏok•ｃｏｍ.cｏｍ，而是真的能填飽肚子的。
「在數學中有兩種證明，一種叫做構造性證明，它會給出具體的例證。」
「在數學領域中，康托爾的集合論與超窮數理論說是開天闢地也不為過。」
「這個新集合包含的元素是原集合的全體子集，它被稱為冪集。」
「集合中的每一個元素都只有兩種可能，屬於這個集合，或者不屬於這個集合，沒有其他情況。」
「再見，躺平老頭。」
她吃掉了營養是中子星32億倍的莎布尼古拉斯，又吃掉了康托爾親手種的紅棗，現在已經不是最初那個什麼都不懂，只會算一百以內加減法的小呆瓜。
「連續統的基數C=N1？」
「這一點在微積分的計算中表現得很明顯，一條無限長的直線與數軸圍成的面積可以是一個有限值。」
這個古老的邏輯悖論就是第三次數學危機的根源。
所有的數學問題或者為真，或者為假，不存在其他情況。
「康托爾後半生的痛苦與他和那些反對者的戰鬥有關，比如之前提起過的克羅內克。」
利用空集作為一切的基礎，生成整個自然數序列。
「將一塊面積有限的圓餅分割展開，能夠形成一條無限長度的鏈條。」
一個數學命題為真，或者為假，這應該是理所當然的。
「這一系列的數字就是所謂的阿列夫數。」
「為了尋找更大的基數，康托爾以集合論為基礎重新出發，從每一個集合與自身子集之間的關係入手。」
「做個躺平老頭，每天晒晒太陽，閑來吃兩顆紅棗，不也挺好的么？」
「既然有了第一個不同於可數無窮的無窮大，那麼後面還有沒有第二個、第三個甚至是無限多個？」
「連續統問題涉及序數和序型。」
「這就意味著，還有另外一種截然不同的方法生成無窮集合的無窮等級。」
「無論如何，這些集合實際上是不可構造或驗證的。」
別說只是區區冪指數，就算定義一堆超運算、超超運演算法則也沒有半點用。
李恆靠在那棵光禿禿的棗樹下，將手中的一片樹葉摺疊成立體的形狀。
「不用覺得不好意思，世界上的一切都是我創造的，這老頭和他種的紅棗也一樣。」
「他是一個聰明的天才，但卻不是一個頑強的鬥士。」
Z是N0的所有序型的集合，不可數無窮。」
他認為每一個確定的數學問題必定能得到一個準確的回答：
「［如果數軸可以劃分為A和B］，卻沒有給出任何可以實際構造出這些集合和*圖*書的方法或程序。」
「希爾伯特就是非構造性證明的大師。」
構造冪集雖然是無限領域的升級方式，但它遠比從有限抵達可數無限要簡單。
「墓碑？」
阿基里斯微微眯起眼睛，她發現綠葉上寫著兩句新的文字。
無限以下的任何運算都影響不到它，只能用一個不證自明的無窮公理來解決。
「簡單來說，康托爾證明了一個可數無窮集N0的所有可能序型的集合是不可數的。」
李恆看了看阿基里斯那對少了幾分清澈愚蠢的粉色眼眸，滿意地點點頭。
李恆走到墓碑前，將手中那片從康托爾的棗樹上取下的綠葉放到墓碑前。
如果是之前那個小笨蛋，知道了用冪集公理生成更大的無窮集合的規則，大概就不把連續統問題當回事了。
「在直覺上，這個結果似乎是很顯然的。」
每一個時刻的流逝都是宇宙的一次複製，每一次複製都誕生了一個無限宇宙的所有可能性——也就是創造了一個冪集，從N0跳到了N1。
「一個無限大的宇宙，其所有可能的狀態就是2^N0，佔盡一個無限宇宙的所有可能性，就能跳躍到更高層次的無窮大。」
它在康托爾的樸素集合論中被放大，成為了一個必須解決的問題。
「沒錯，排中律就是第三次數學危機的源頭。」
李恆蹲下身體，伸手戳了戳那個躺平的白髮老頭。
她以前對自己的要求只有吃飽穿暖就夠了，這就已經足夠幸福。
漫天綠葉消失不見，李恆將葉片收回掌心，指尖摩挲著上面的紋路道：
「也就是說，N1同樣是不可數無窮。」
李恆看向阿基里斯肩膀上寫著「排中律」字樣的便簽。
手中綠色的樹葉上流動的白色文字停留在了阿列夫不動點那裡，李恆將這些文字全部抹去，接著道：
「新的冪集顯然大於原來的集合，康托爾證明了即使集合是無窮的，它的冪集的基數也總是大於它。」
「排中律有問題？」
阿基里斯輕聲一嘆。
在阿基里斯的視角中，這片葉子在同一時刻出現在了天地間的所有地方，上面演化著這個無窮小的無理數世界所有的可能性。
但隨著自身處境的變化，也漸漸的開始渴求更多的東西。
這個集合的非空子集為｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝，共有7個。
「［我說的這句話是謊話］，這句話是真是假？」
佔盡未來，一切可能發生的都同時發生了，這些樹葉上映照出的每一個世和_圖_書界都是與這裏一樣真實的存在。
「事實上，2這個數字在這裡有更豐富的意義。」
「嗯……的確不算是小呆瓜。」
「這就是冪集公理。」
「康托爾認為這個問題是他一生最大的失敗。」
「嗯，墓碑。」
「證明自然數集的冪集不可數的對角線法證明與全體實數不可數的證明非常的相似。」
如果說的是謊話，那麼這句話就是真話。
「這就是康托爾的集合論中最深刻的問題之一，在這個問題上遇到的困難也是導致他嚴重精神問題的重要原因。」
「康托爾對於直線、平面、立體的研究就是這個思想下的產物。」
「自然數集的冪集的基數為N1，康托爾接下來又證明了這個集合無法與自然數集合之間形成一一對應。」
N1是N0的冪集，不可數無窮。
「每一個超窮序數下標代表的是冪集構造的次數，是在無窮大領域的跳躍。」
「這些悖論的本質都是自我指涉問題。」
阿基里斯看著墓碑上的黑白照片，心中略微有些無語。
「C=N1？N1=Z？」
「連續統問題的本質就與排中律有關。」
「這些屬於擴展閱讀的部分，回到連續統的問題。」
李恆看向棗樹底部那個眼神茫然的躺平老頭道：
「C是所有實數的集合，不可數無窮。
這種方法正是後來以集合論為基礎生成自然數的方法。
一個集合｛1，2，3｝包含三個元素。
「N0，N1，N2，……直到阿列夫無限。」
不知道，沒有任何辦法。
［我們必須知道，我們必將知道。］
「利用冪集公理，就能構造出一個新的更大的無窮集合，也就是2^N0=N1」
阿基里斯看著老頭的目光有些不太好意思，這棵棗樹可不是別人扔在垃圾桶里不要的剩菜剩飯。
「這裏的無限用的是超窮序數ω，也就是從最初的N0開始，經過無限次冪集構造后得到的集合。」
我不是義務教育漏網之魚，現在我好歹也有21世紀地球人的平均水平。
阿基里斯從那寫著「我們必須知道，我們必將知道」的葉片上收回目光，看向自己肩膀上貼著的便簽。
能理解一些微積分和集合論的基礎問題，她應該差不多能達到21世紀地球人的平均知識水平。
「本質上2這個數字代表了一種二元選擇——也就是判定是或否。」
實無限顯然是真實存在的，但如何從有限抵達它？
活著的時候沒有體會到幸福，死後才被世人奉為偉人，對於在痛苦中死去的本人又有什麼意義呢。