生命1.0階段的草履蟲。

在任何數學體系中，總有一些東西無法從自身體系內部證明或證偽。

神學否定排中律與自指悖論，直接承認全知全能。

「自然數，整數，有理數，代數數，以及圓周率π、自然常數e等等超越數，它們都屬於可計算數。」

「無限的基本特徵就是部分等於整體，有限的人類所能認知的一切都是可定義數集合中的元素。」

「想要認知這些不可定義數，必須擁有能接收無限信息的大腦，從圖靈機的有限世界踏入超圖靈機的無限世界。」

顯而易見的一點是，不論是使用0和1的二進位表示，還是使用漢字、英文或者宇宙中其他星球上的外星人的自然語言，有限的人類準確定義一個數的演算法使用的字元數量都是有限的。

如果強行設定一個包含一切的唯一神，創造一個能破除自指悖論的全能上帝，那這個體系就必定是不自洽的，充滿了自相矛盾的東西。

「但是，就像數理邏輯中那些不可證明的問題可以在更高階的系統中解決一樣，停機問題並非是絕對不可解決的問題。」

無論是多強大的存在，總是存在不受掌控的外部世界，有著自己無法佔據的未知可能性。

在這種不自洽的體系裡，所有的命題都沒有真假對錯可分，跟瘋子的胡言亂語沒什麼差別。

「人類所知的無理數，雖然它們都是無限不循環小數，但它們的演算法複雜度卻很低。」

它們是從生命1.0～生命5.0的不同戰鬥力等級。

但每一台超圖靈機的力量究竟有多強，與同樣屬於可數無限的自然數、有理數、代數數之間又有什麼關係，那她就不太清楚了。

「在人類可以言及的宇宙之外，還有著更廣闊的未知永恆世界。」

生命3.0階段的掌握完美基因編輯能力的人類文明。

人類可以準確認知比自己高一個層次的可數無限集合中的元素，用理性和邏輯處理這些無限集合。

「描述這些可計算的無理數就像是人類總結無限宇宙https://www.hetubook.com.com的物理規律一樣，可以將無限的信息壓縮成短短的一個數學公式而不損失任何信息。」

「萬物源自量子比特，物理宇宙的客觀存在就等價于信息計算，有限的人類的智慧就等價于只能進行有限次計算的圖靈機。」

「所有無限的實體都可以像是圓周率π一樣被壓縮、簡化，變成一小段精確的數學公式，卻不丟失自身的任何信息嗎？」

信仰的力量很強大，宗教也在地球的人類史上留下了深刻的痕迹。

「有沒有覺得和集合論里從自然數到全體自然數集合的情況很相似？」

「每一個整數都是有限的，它們是由一連串的判定得到的有限序列，屬於圖靈機的能力範圍。」

因為神是全知全能的，所以神可以創造自己舉不出來的石頭。

它們來的是如此的自然，讓她感覺似乎就是自己的想法，卻偏偏有著不合理的奇怪內容。

「一個很簡單的演算法就能生成一個確定的無理數，它們屬於可以被壓縮簡化的簡單實無限。」

「不能被圖靈機寫下的不可計算數，同樣也不可能被人類的大腦計算。」

這種強行設定只會變成單純的神學信仰。

「能用人類的語言表述出來的道並不是永恆常在的真正的道。」

阿基里斯微微甩了甩腦袋，努力將這個突然冒出來的奇怪想法甩了出去。

「有限的人能掌握宇宙的物理規律，用短短的幾行公式描述無限宇宙的規則，本質上是因為實無限比有限的狀況更簡單。」

有限的凡人只能認知有限的事物，這些事物都是屬於可數無限集合中的元素。

但人類所在的無垠宇宙並不在乎地球上幾十億人的宗教信仰，它有自己的規則。

反正只要神認定的就是絕對的。

都已經承認全知全能，允許自相矛盾的東西存在，那也沒什麼繼續討論的必要了。

這個詞她很早就聽過了，只知道這種機器幾乎可以和「實無窮」的力量划個等號。

「這些數作為可數無hetubｏoｋ•ｃｏm.ｃoｍ限集合中的元素，蘊含的信息是可以被壓縮的，可以用有限的信息進行準確定義。」

這5個生命階段的所有生命體，他們的計算能力都等價于圖靈機，終其一生有可能知曉的知識都在這條邊界之內。

「每一個不可計算數的演算法複雜度都是無限。」

這也是數理邏輯和神學最大的區別。

以不自相矛盾作為討論的前提條件，那就沒有絕對無限。

但是，雖然這些不可計算數和不可計算函數的演算法複雜度是無限，人類卻可以給它們下一個準確的演算法定義。

「無限的複雜度比有限的複雜度更低，因此無限宇宙的運轉規律才可以被壓縮在一張普通a4紙上的數學公式中。」

「不可計算數不是簡單的實無限，它們是不可被壓縮簡化的。」

那裡與有限的凡人世界隔著兩個層次，裏面的每一個元素都是不可言及的不可定義數，只有無限領域的生靈才能認知那個世界。

有些知識太過沉重，必須要無窮的信息和能量才能承載。

「每一台圖靈機都能執行一個特定的演算法，但所有圖靈機構成的集合與不可數無限N1無法形成一一對應。」

她臉上做出若無其事的表情，開口問道：

生命2.0階段的智人文明。

一個自相矛盾的體系中，一切命題都可以為真，也都可以為假。

「道可道，非常道；名可名，非常名。」

「將它稱為一階算術，對應可數無限。」

於是也就沒有什麼絕對無敵、絕對永恆、絕對永生之類能被冠以絕對之名的東西。

那散發著不祥氣息的手掌慢慢靠近，帶著阿基里斯此前從未感受過的壓迫力，彷彿是來自某個黑暗不可見的深淵。

阿基里斯壓下身體的本能恐懼感，不閃不避地看著那隻手掌抓住了她胸前掛著的粉白色螺旋狀吊墜。

知識就是力量，全知即是全能。

每一個可定義數都是有限的，所以全體可定義數構成的集合也是可數無限N0，無法與全體實數一一對應。

說到此處，李恆向著靠m.hｅｔｕbｏｏｋ.ｃoｍ•cｏm在壁爐旁的阿基里斯緩緩地伸出了右手。

除此之外，還有許多不可計算函數，這些函數都不能在有限次運算內得到結果，演算法複雜度也是無限。

「但是，所有的實無限複雜度都比有限的狀況更簡單嗎？」

「真正讓實數集成為不可數無限的正是那些不屬於可定義數集合的不可定義數。」

這些強者在這不祥氣息帶來的恐怖壓迫感面前完全是小巫見大巫，根本不在同一個層次。

「實數集是自然數集的全體子集構成的集合，有不可數無限個元素，但每一個元素都是可數無限。」

並且，她正在逐漸被那個不可直視的龐然大物散逸出來的些許信息淹沒、同化。

李恆總結了一遍連續統問題，接著用食指敲了敲桌子道：

「能夠解決一切圖靈機的停機問題的計算機器，就被稱為超圖靈機。」

「綜上所述，實數是不可知的。」

「無論這個人是地球上的普通碳基生物，還是超越可觀測宇宙邊界，以億萬星辰為細胞的文明級生命體。」

自我指涉的悖論確定了理性的邊界。

「將那些可以被圖靈機計算的序列稱作可計算序列，這些序列構成的數就是可計算數。」

「因此它是一個三階算術問題，人類使用的大多數算術系統對它都無能為力。」

「超圖靈機？」

因此，人類所知的不可計算數，本質上都屬於可定義數的範圍。

「這個問題是不可判定的，它同樣涉及到自我指涉的悖論，也就是這台圖靈機自己判定自己能否停機。」

「解決了第三次數學危機以後，人類對於無窮的認知比康托爾的樸素集合論更清晰了。」

「至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。」

有限，可數無限，不可數無限。

李恆用食指在報紙上劃了一條線，分割開了上下兩個世界。

可定義，是指可以給出如何計算它的指令，即使這個演算法不能在圖靈機上實際執行。

「但這個世界上確實存在著與有限的凡人位於兩個世界，足以被稱為神的領域。和_圖_書」

李恆指了指桌上的那台芝諾機道：

「因此，被人類稱為實數集的集合中，顯然存在著不可數無限個不能用圖靈機通過有限次計算寫下的數。」

「……不祥氣息是個什麼鬼啊？」

「複雜的數理邏輯暫時就到此為止，接下來討論一些更簡單的東西。」

阿基里斯點了點頭，兩者的情況的確很像，明顯有著緊密的聯繫。

數理邏輯則肯定排中律，拋棄了數學的完備性，承認數理邏輯並非絕對真理，任何數學系統都存在著缺陷。

這讓她清晰地感覺到自己正在窺探某個位於人類智慧邊界之外的詭異之物。

「雖然排中律的限制否定了絕對無限和宗教意義上全知全能的唯一神。」

「嗯，比起哥德爾不完備定理，超圖靈機要更容易理解一些，是相對而言更為具體的東西。」

「計算，本質上就是一系列的是、否判定過程。」

「自指悖論否定了至大無外的絕對無窮，連續統問題則是對至小無內的研究。」

「連續統問題研究的是實數集的基數，實數集作為不可數無限，是更高層級的集合中的元素。」

「自然數集是第一個無限集合，集合中有無窮個元素，但其中的每一個元素都是一個有限的自然數。」

無論是一念毀滅無盡星域的畢達哥拉斯，還是化作恢宏大日照耀著無窮小的無理數世界的牛頓和萊布尼茨兩大天尊。

「所有圖靈機構成的集合就是全體整數的集合，也就是可數無限N0。」

「但實數集是不可數無限，這個集合中的元素具備了純粹的實無限性質，它們是不可以被壓縮簡化的，人類無法使用有限的字元準確定義它們。」

那裡是一個明知存在，但卻永遠不可知曉具體形貌的未知黑暗領域。

允許自相矛盾的全知全能在宇宙的自然規律面前終究是無能為力，不過是自娛自樂。

因為神是全知全能的，所以從皮亞諾公理可以推出1=0。

「將其稱為二階算術，對應不可數無限。」

在這條線的上方是一大堆緊緊地擠在一起、密不可分的微小字元，在m.hetubook.com.com這張報紙上佔據了極為可憐的篇幅，不用顯微鏡都看不清具體細節。

「與哥德爾不完備定理很類似的問題是停機問題，即判定一台圖靈機是否能正確地完成計算並停機的過程。」

對於實數集中那些不可言及的元素，人類只能像是道德經中一樣，用「不知其名，強字之曰道」的方法，把它們稱作不可定義數。

在這條線的下方，就放著那枚粉白色螺旋狀吊墜，一台芝諾機。

「圖靈的做法也很類似，他將圖靈機標準化到可以用一個整數來唯一確定一台機器，這一整數將機器的所有狀態進行了編碼。」

它揭示出在人類的邏輯中，全知全能的神不存在，絕對無限也不存在。

李恆拿過那枚粉白色的螺旋狀吊墜，將它放在了面前的那張報紙上。

戰鬥力等級9級的一級文明，18級的二級文明，30級的三級文明，大於10^40級的黑洞生命體，以及戰鬥力等級潛無限的信息生命體，全都在這條線的上方擠作一團。

「雖然名為實數，但就像直觀的連續性一樣，它們一點都不現實，位於人類的世界之外。」

生命5.0階段，超脫時間束縛，觀察到真實靜止宇宙的5階信息生命體。

生命4.0階段超越光速限制，沒有體型上限和通訊速度限制的文明級生命體。

但對於更高層次的不可數無限，人類沒有任何辦法去觸及它。

成為信徒的第一步就是拋棄自己的邏輯思維，認可神是絕對正確的，可以做到人類邏輯中自相矛盾的事情。

「這些數學公式就是描述無限宇宙的最簡演算法。」

這些沉重的知識位於一切有限領域生靈的認知範圍之外。

隨著時間的推移，這些奇怪的想法越來越多，不停地從腦海深處冒出來。

「哥德爾不完備定理的證明方法就是如此，通過將形式符號轉化成對應的哥德爾數，把推理證明變成機械的計算過程。」

不可計算數的一個實例是蔡廷常數，選擇任意一種編程語言，隨意輸入一段代碼，該代碼能夠成功運行並且能夠在有限時間內終止的概率。