在現代計算機出現之前得到證明的命題都是這一類，也是大部分人所熟知的證明。
李恆敲了敲桌子上的芝諾機道：
李恆輕輕敲了敲佇立在面前的佛祖金身手辦，讓它發出一陣清脆的響聲。
她無法看到這上面的全部，每一個圖靈度層級中間都有著無限數量的中間層次，圖靈跳躍的次數更是遠超她的想象。
但哥德爾不完備定理依舊給數學命題是否可證留下了一道門。
李恆點頭道：
在數學中，證明命題的難度分為幾個等級。
每個人眼中看到的世界是不一樣的，他看到的世界與普通人認為的「全世界」顯然不是一回事。
皮亞諾算術體系的序數強度為ε0。
這意味著皮亞諾算術體系可以表達ε0以下的任意序數，但不包括ε0本身。
連續統問題是希爾伯特第一問，另一個問題是關於可判定性的。
阿基里斯看著位於那條線上方，密密麻麻擠作一團的文字，微微撇了撇嘴角。
有些命題就算用上了計算，也還是只有長證明，不可能在一塊黑板上用粉筆寫下完整的證明。
「同樣的，皮亞諾公理的一致性也可以在超窮序數ε0中得到證明。」
在有限的時間內，是否總有可能找到一個步步推進的程序，對一個給定的數學命題的真偽進行判斷。
但是，即使是最弱小的超圖靈機，它不可解決的問題也在有限的凡人的認知邊界之外。
「所有圖靈度組成了一個複雜有序的結構，並且在每個圖靈度層級之間，顯然還有更複雜的中間結構存在。」
下一刻，一座金光閃閃的佛像出現在了這裏。
這個層級是如此的複雜和稠密，在任意兩個可見的圖靈度之間，還有著無限數量的中間結構。
「雖然無法窺探不可數無限集合中的無限元素，但有限的人類至少能研究可數無限集合中的有限元素，以此確定可數無限的某些性質。」
阿基里斯仔細觀察著報紙上那複雜的圖靈度層級不停地向下延伸。
「自然數，整數，有理數，代數數，可計算數。」
這些問題就被稱為不可判定問題。
「圖靈度層級與這些可ｈtｔps://m•ｈeｔuｂｏｏk.com.ｃom數無限集合的複雜度之間有著緊密的聯繫。」
「不可判定的問題無窮無盡，但這些不可解問題的難度卻各不相同，連續統問題就遠比圖靈機的停機問題困難得多。」
當圖表一直延伸到0（ε0）的時候，李恆停下了移動的手指，抬起手掌探入了虛空中的某個遙遠世界。
阿基里斯從頭到尾掃過這張報紙。
「皮亞諾公理定義了自然數，根據哥德爾不完備定理，其中存在不可證明的命題，並且它的一致性也無法在自身體系內得到判定。」
「最原始的超圖靈機模型是預言機，又稱諭示機，它可以被視為多了個黑盒子的圖靈機。」
阿基里斯凝神看去，只見那張紙上多出了一個標題【圖靈度層級】。
「不過，當一台諭示機配備了一個能解答停機問題的預言者時，我更喜歡把它稱作神諭機。」
沒有什麼特別的和不特別的，一切僅僅只是單純的存在而已。
無論一個程序多麼巧妙，在任何情況下，它都無法計算出其他程序是否會終止。
李恆再次伸手探入虛空，一隻毛茸茸的海狸被他從遙遠世界中拉了過來，放在了這個符號的旁邊。
李恆把這具金光閃閃的佛祖手辦放在了寫著0（ε0）的位置。
「圖靈度層級根據問題的不可解度對計算能力進行了嚴格的分類，位於高層級的存在對於下層級是智力上的絕對碾壓。」
那些縱橫多元宇宙、壽命無窮無盡、以星辰宇宙為細胞的強大生靈，在這張紙上卻只是一群智能水平為零的弱智，和單細胞草履蟲處在同一個位置。
阿基里斯心中輕嘆一聲。
「將芝諾機的計算時間放寬到超限序數時間，就得到了芝諾機的泛化模型，無限時間圖靈機。」
那個老頭說的話就跟天書似的，很難把這樣一個老頭與深度被害妄想症患者聯繫在一起。
ε0，ε1……完成了整個ε層級，然後進入了一個新的序列。
「量子比特海洋中一片完整的宇宙海，或者將其稱作一座次元世界，它對應的就是最簡單的無限集合，自然數集www.ｈｅｔubook.ｃom•ｃoｍ。」
雖然這麼一點點地方就已經遠遠超出了凡人所能知曉的世界範圍，是一種極大的優待。
「因此，這台芝諾機的算力就是ω。」
「將一個大數進行質因數分解，顯然比計算10以內的加減法要困難得多。」
比起圖靈度和不可解度這樣的詞語，智能這個詞就顯得有些直白，甚至是刺眼了。
佛像身材瘦削，面目慈悲，雙手合十在身前，身體周圍有陣陣梵音飄蕩。
她只是對方佔據的無限種可能性里的其中一種。
「丘奇—克林序數，可計算序數的上確界。」
這句話用在不可判定問題上恰如其分。
在這層意義上，可以把圖靈度層級稱作是全知全能層級。
無論是多麼強大的存在，總是無法對自己進行判定，只有依賴於更強大的外部觀察者才能判定自身。
從佛祖的金身手辦開始，他繼續向下構造更大的序數。
難怪這傢伙會把她稱作是世界上獨一無二的垃圾。
「通過引入超窮序數最小不動點ε0，皮亞諾公理定義的自然數體系中不可證明的古德斯坦定理可以被證明。」
許多數學事實不僅不可證明，甚至連它們是否可以被證明都無法確定。
「但是，這些問題可以在更大的體系內得到解決。」
「任何數學體系都有不可證明的命題，即使是超圖靈機，也無法判定自身的停機問題。」
「0（ω），0（ω^2），0（ω^ω）……」
「是不是表示這台芝諾機算力的另一種符號？」
「還真是天地不仁啊。」
就像是用構造冪集的方式構造阿列夫數一樣，圖靈度層級也使用圖靈跳躍的次數描述，括弧里的那些數是超窮序數。
「通過構造能解決圖靈機停機問題的神諭機的停機問題，就能完成一次新的圖靈跳躍。」
對於生命1.0～生命5.0階段的有限生靈，任何一台超圖靈機都是永遠不會犯錯的神，能解答他們過去已經解決、以及未來所有可能解決的問題。
在它的下方是實數連續統。
「超圖靈機就是這樣一類假想的計算機器，它們的計算能力從有限次擴展
https://www.hetubook.com.com到了無限次。」
「即使是在0（1）和0（2）之間，也有著無窮個中間層級。」
智能層級……
「每一次圖靈跳躍都能得到一個新的圖靈度，將經過n次圖靈跳躍得到的圖靈度稱作0（n）。」
就像是哥德爾在證明不完備定理時做的那樣，證明一個數學命題的不可證明性。
在無限綿延的圖靈度層級上，有限的凡人位於圖靈度為0的最底層，只能解決那些最簡單的可計算問題。
只要存在這種可能性，他就會佔據這種可能性。
這張圖表上刻畫的是全知全能的神之領域。
「沒錯。」
李恆指著身前紙上的標題道：
有些命題沒有短的公理性證明，但採用計算之後有短證明，比如四色定理。
「這是佛祖，來自一個叫做真實界的地方，衝擊無限領域后死了。」
「一台能解決停機問題的神諭機，就等價于能進行ω次計算的超圖靈機。」
「將圖靈機可解決的問題難度稱作是0，停機問題的難度就是0＇，從0到0＇的過程則稱作是一次圖靈跳躍。」
那條線是人與神的分界線。
每個數學系統都有一定的序數強度，決定了系統能夠表達和不能表達的序數。
「地球上普通的超級計算機能做到每秒數百億億次的計算，這台芝諾機則能做到在1秒內完成無限次計算。」
「圖靈度層級，也稱為不可解度層級，它描述的是那些圖靈機不可判定的問題的難度。」
「前者是普通地球人無法完成的任務，超出了他們大腦的智力範圍。」
描述無限的體系繼續延伸，一些奇奇怪怪的符號不斷出現，最終停在了ω_1^ck的位置。
「芝諾機能在有限的時間里完成無限的計算，但這隻是普通的芝諾機。」
有限的凡人在這張描述神的力量層次的圖表中，只佔據了標題附近可憐的一點點地方。
將這隻毛茸茸的海狸放下，李恆伸手從標題位置拿過那枚粉白色的螺旋狀鑰匙，將它放在了海狸的下方。
「因此，換個簡單易懂的說法，可以將它稱作是智能層級，用於衡量生靈、文明的智能水平。」
和-圖-書關上這扇門的是圖靈和圖靈機的停機問題。
人類能理解的邏輯中不存在宗教意義上全知全能的唯一神。
圖靈是無神論者，他相信物理世界是可計算的，神是不存在的，所以神諭當然也不存在。
她的那台芝諾機所在的位置與標題幾乎重合在了一起，旁寫著0（1）的字樣。
雖然每一個自洽的公理系統中都存在不可被證明的數學事實，但能否找到一系列的步驟或演算法，來判定任何給定的數學命題是否可證。
在某些數學系統的內部，某些命題是不可判定的。
他只是平等地把世間每一個有限的生靈當做是毫無價值的垃圾。
「既然它的算力是ω，那麼旁邊的那個0（1）又是什麼意思？」
「利用停機問題，就像從有限到無限的跨越一樣，能夠得到一台計算能力超越圖靈機的超級計算機。」
「圖靈機無法解決停機問題，但神諭機卻可以解決停機問題，顯然它的計算能力比圖靈機更強。」
「我們之前見過的牛頓和萊布尼茨，還有躺平老頭康托爾。」
「所謂的0（1）就是這個意思，它代表的是一次圖靈跳躍后抵達的位置，是衡量超圖靈機能解決的問題難度的層級。」
超圖靈機的能力存在上限，它們也會有錯誤，但這些錯誤對於人類來說是不可證明也不可證偽的。
阿基里斯聽得下意識點了兩下腦袋，表示「我已經完全明白了」。
在圖靈眼中，能解答不可判定問題的超圖靈機，宛如神諭。
諭示的原文oracle的意思就是「神的宣布」，也就是神諭。
每一個圖靈度代表著的都是無數個凌駕于有限世界之上，佔盡未來一切可能性的無限生靈。
無論是統治著諸天萬界的超級文明，還是她這個貧民窟里吃了上頓沒下頓的小乞丐，都是世界最底層的笨蛋窮鬼。
對更高圖靈度層級的超圖靈機而言，位於圖靈度最底層的凡人都是智力為零的蠢蛋。
它證明了在任何邏輯統一且大到能夠包含所有演算法規則的公理體系中，總有一些數學事實無法被證明。
如同從有限到無限、從人到神的跳躍一樣，這是一條不可逾越的分界線。ｗｗｗ.ｈｅtuｂooｋ•ｃom•cｏｍ
有些命題有短的公理性證明，它們的證明簡潔美麗。
「在皮亞諾公理定義的自然數範圍內，能容納超窮序數ε0的佛祖就是全知全能的。」
「超窮序數衡量的是無限序列的長度，也就是超圖靈機進行是、否判定的次數。」
在之前那段診療時間里，她所做的只是保持著尷尬且不失禮貌的微笑，裝作自己正在觀賞壁爐中跳動的火焰。
這比起剛剛那個名叫哥德爾的老頭講的連續統問題簡單太多了。
「雖然他們生存在無窮小的無理數世界里，身體中每一個無窮小的基本組成部分都容納著無限信息和能量，但都在這隻忙碌海狸的力量掌控範圍內。」
「在他們那個世界里，把這個佔盡未來的境界叫做道果。」
阿基里斯猜測道：
最後，在這台無限時間圖靈機的下方，李恆在報紙的末尾處再次劃上了一條線。
［我有一個絕妙的證明，但空白處太少，我寫不下］
雖然這個容納了ε0的新體系的一致性也需要藉助一個比自身更大的系統才能進行判定。
並不是所有的數學問題都很簡單，能做的證明都能在幾頁紙內寫完。
如果按照真實的大小比例來描繪，這裏只會剩下最後的實數連續統，其他的一切都不會存在。
「通俗的說法就是，高圖靈度對於低圖靈度而言是全知全能的。」
「這些數構成的集合都是可數無限，基數大小相等，但它們的複雜度卻是不一樣的。」
哥德爾不完備定理粉碎了這種可判定性。
「這裏就是超窮序數出場的時候了。」
「預言者能解答的問題可以是任何複雜度之內的問題，甚至可以使用不可判定問題，像是停機問題。」
任何一個位於更高圖靈度層級的問題對於他們都是永遠不可解決的難題，無論耗費多少時間、付出多少努力都沒有用。
李恆的手指在報紙上輕輕敲擊，從那台芝諾機所在的位置開始，刻畫出一個無限綿延的層級。
但更大、更包容的系統具有更大的序數強度，能以一個不同的系統來論證這些命題。
沒有一種通用的演算法可以判定所有的輸入結果是否會出現停機，希爾伯特判定問題無法被解決。